Ծնվել է Մոսկվայում։ Հայրը «Մետրոպոլ» ռեստորանի շեֆ-խոհարարն էր։ Ենգիբարյանների ընտանիքը ապրում էր Մոսկվայի Մարյինա Ռոշչայում, մեկ հարկանի փայտե տանը։
Մինչև իր կյանքը կրկեսին նվիրելը Ենգիբարյանը փորձել է մի քանի այլ մասնագիտություններ։ 1952 թվականին ավարտելով միջնակարգ դպրոցը՝ ընդունվել է ձկնային տնտեսության ինստիտուտ։ Սակայն այնտեղ սովորել է ընդամենը կես տարի՝ տեղափոխվել է ֆիզկուլտուրայի ինստիտուտ։ Այդ ժամանակ նա պրոֆեսիոնալ բռնցքամարտիկ էր և մինչև 1950-ական թվականների կեսերը լավ արդյունքների էր կարողացել հասնել այդ բնագավառում։
1952-1953 մրցաշրջանում բռնցքամարտի Մոսկվայի առաջնությունում Ենգիբարյանը տանում է 9 հաղթանակ և պարտվում ընդամենը մեկ անգամ։ Արդյունքում գրավում է 3-րդ տեղը իր քաշային կարգում։ 1952 թվականին սկսելով երրորդ կարգից՝ 1954 թվականին արդեն առաջին կարգային բռնցքամարտիկ էր։
1955 թվականին Կրկեսային արվեստի պետական ուսումնարանում բացվում է կլոունադայի բաժին և Լեոնիդը ընդունվում է այդտեղ։ 1959 թվականին, ավարտելով ուսումնարանը, գալիս է Երևան և ընդունվում հայկական կրկեսախումբ։ 1956 թվականից Լեոնիդը նկարահանվել է կինոյում։ 1958 թվականին նա հայտնվել էր «Կոմունիստ» ֆիլմի փոքրիկ մի դրվագում՝ խաղալով կինոնկարի գլխավոր հերոսին սպանող հանցագործներից մեկի կերպարը։ 1962 թվականին արտիստին առաջարկեցին կինոյում խաղալ ինքն իրեն։ Հենրիկ Մալյանը և Լևոն Իսահակյանը մտահղացել էին ֆիլմ նկարել կրկեսի ծաղրածուի մասին և այն անվանել էին «Ճանապարհ դեպի կրկես» (1963 թվական)։
Մահացել է 1972թ֊ին հուլիսի 25։
Սարգիս Գրիգորյան 